Question

已知点A（－1，0），B（1，－1）和抛物线.，O为坐标原点，过点A的动直线l交抛物线C于M、P，直线MB交抛物线C于另一点Q，如图.

（1）证明: 为定值;

（2）若△POM的面积为，求向量与的夹角；

(3)证明直线PQ恒过一个定点.

Answer

（1）见解析； (2) ；(3)直线PQ过定点E（1，－4）.

【解析】

试题分析：（1）设点根据、M、A三点共线，

得 计算得到=5；

(2)设∠POM=α，可得结合三角形面积公式可得tanα=1.

根据角的范围，即得所求.

(3)设点、B、Q三点共线，

据此确定进一步确定的方程，化简为

得出结论.

试题解析：（1）设点、M、A三点共线，

2分

5分

(2)设∠POM=α，则

由此可得tanα=1. 8分

又 10分

(3)设点、B、Q三点共线，

即 12分

即 13分

由（*）式，代入上式，得

由此可知直线PQ过定点E（1，－4）. 14分

考点：抛物线及其几何性质，直线方程，直线与抛物线的位置关系，转化与化归思想.