Question

如图，已知一四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，且侧棱PC⊥底面ABCD，且PC＝2，E是侧棱PC上的动点

（1）求四棱锥P－ABCD的体积；

（2）证明：BD⊥AE。

（3）求二面角P-BD-C的正切值。

Answer

（1）；(2)见解析；（3）.

【解析】

试题分析：（1）根据四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PC⊥底面ABCD，知高为PC=2. 应用体积计算公式即得；

(2)连结AC，根据ABCD是正方形，得到BD⊥AC ，由PC⊥底面ABCD 得到BD⊥PC，推出BD⊥平面PAC；由于不论点E在何位置，都有AE平面PAC，故得BD⊥AE；

（3）设相交于，连,可知是二面角P-BD-C的的一个平面角，计算其正切即得二面角P-BD-C的正切值.

试题解析：（1）该四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，

侧棱PC⊥底面ABCD，且PC=2.

∴ 4分

(2)连结AC，∵ABCD是正方形

∴BD⊥AC ∵PC⊥底面ABCD 且平面 ∴BD⊥PC

又∵∴BD⊥平面PAC

∵不论点E在何位置，都有AE平面PAC

∴BD⊥AE 8分

（3）设相交于，连,由四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，PC⊥底面ABCD知，是二面角P-BD-C的的一个平面角，,即二面角P-BD-C的正切值为.

考点：垂直关系，几何体的体积，二面角的计算.