Question

对于三次函数。

定义：（1）设是函数的导数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”；

定义：（2）设为常数，若定义在上的函数对于定义域内的一切实数，都有成立，则函数的图象关于点对称。

己知，请回答下列问题：

（1）求函数的“拐点”的坐标

（2）检验函数的图象是否关于“拐点”对称，对于任意的三次函数写出一个有关“拐点”的结论（不必证明）

（3）写出一个三次函数，使得它的“拐点”是（不要过程）

Answer

（1）“拐点”坐标是;

（2）一般地，三次函数的“拐点”是，它就是的对称中心。

或者：任何一个三次函数都有拐点；任何一个三次函数都有对称中心；任何一个三次函数平移后可以是奇函数.

（3）或.

【解析】

试题分析：（1）依题意，计算 ，.

由 ，得，再据，可得“拐点”坐标是.

（2）由(1)知“拐点”坐标是.

根据定义（2），考查

=

==，

作出结论：

一般地，三次函数的“拐点”是，它就是的对称中心.

或者：任何一个三次函数都有拐点；任何一个三次函数都有对称中心；任何一个三次函数平移后可以是奇函数.

（3）根据（2）写出或写出一个具体的函数,如或.

试题解析：（1）依题意，得： ，

。 2分

由 ，即。∴，又 ，

∴的“拐点”坐标是.。 4分

（2）由(1)知“拐点”坐标是.

而=

==，

由定义(2)知：关于点对称。 8分

一般地，三次函数的“拐点”是，它就是的对称中心. 10分

（或者：任何一个三次函数都有拐点；任何一个三次函数都有对称中心；任何一个三次函数平移后可以是奇函数 ）都可以给分

（3）或写出一个具体的函数,如或. 12分

考点：新定义问题，导数的计算，函数图象的对称性.