Question

已知数列

⑴求证：为等差数列；

⑵求的前n项和；

⑶若，求数列中的最大值.

Answer

⑴见解析；⑵Sn= (n－1)·2n+1＋2；⑶最大值为b1=0.5.

【解析】

试题分析：⑴利用等差数列的定义，研究为定值；

⑵由⑴进一步得，利用“错位相减法”求和.

根据Sn=1·21＋2·22＋3·23＋ ＋(n－1)·2n－1＋n·2n

2Sn=1·22＋2·23＋3·23＋ ＋(n－1)·2n＋n·2n+1

两式相减得：－Sn=21＋22＋23＋ ＋2n－n·2n+1 =

⑶由

研究，得到推出{bn}为递减数列

数列{bn}中的最大值为b1.

试题解析：⑴∵

∴

∴为等差数列，首项为，公差d=1(4分)

⑵由⑴得 ∴(6分)

∴Sn=1·21＋2·22＋3·23＋ ＋(n－1)·2n－1＋n·2n

2Sn=1·22＋2·23＋3·23＋ ＋(n－1)·2n＋n·2n+1

两式相减得：－Sn=21＋22＋23＋ ＋2n－n·2n+1

=

∴Sn=2－2n+1＋n·2n+1=(n－1)·2n+1＋2 (10分)

⑶

∴ ∴(12分)

又∵2(2n2＋n－1)－(2n2＋n)=2n2＋n－2

当n≥1时，2n2＋n－2>0 ∴2(2n2＋n－1)>2n2＋n>0

∴即bn＋1