Question

如图，多面体的直观图及三视图如图所示，分别为的中点．

（1）求证：平面；

(2）求多面体的体积．

Answer

（1）证明：见解析；（2）多面体的体积．

【解析】

试题分析： （1）由多面体的三视图知，三棱柱中,底面是等腰

直角三角形，，平面,侧面都是边长为的正方形．

连结，则是的中点，由三角形中位线定理得，得证.

（2）利用平面，得到,

再据⊥，得到⊥平面，从而可得：四边形 是矩形,且侧面⊥平面.

取的中点得到,且平面．利用体积公式计算.

所以多面体的体积． 12分

试题解析： （1）证明：由多面体的三视图知，三棱柱中,底面是等腰

直角三角形，，平面,侧面都是边长为的

正方形．连结，则是的中点，

在△中，，

且平面，平面，

∴∥平面． 6分

（2） 因为平面，平面,

,

又⊥，所以，⊥平面，

∴四边形 是矩形,且侧面⊥平面 8分

取的中点,,且平面． 10分

所以多面体的体积． 12分

考点：三视图，平行关系，垂直关系，几何体的体积.