Question

直线y＝kx＋b与曲线交于A、B两点，记△AOB的面积为S（O是坐标原点）．

（1）求曲线的离心率；

（2）求在k＝0，0＜b＜1的条件下，S的最大值；

（3）当｜AB｜＝2，S＝1时，求直线AB的方程．

Answer

（1）离心率．（2）当时， S取到最大值1．

（3）或或或．

【解析】

试题分析：（1）转化成标准方程，明确曲线为椭圆，，进一步得到椭圆的离心率.

（2）设点A的坐标为，点B的坐标为，由，解得，

将面积用b表示.

（3）由,应用弦长公式，得到｜AB｜＝，

根据O到AB的距离得到代入上式并整理，解得k,b.

试题解析：（1）曲线的方程可化为：，

∴此曲线为椭圆，，

∴此椭圆的离心率． 4分

（2）设点A的坐标为，点B的坐标为，

由，解得， 6分

所以

当且仅当时， S取到最大值1． 8分

（3）由得，

①

｜AB｜＝ ②

又因为O到AB的距离，所以 ③

③代入②并整理，得

解得，，代入①式检验，△＞0 ，

故直线AB的方程是

或或或． 14分

考点：椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，点到直线的距离公式，函数的最值.