Question

已知函数 (R)．

(1)当时，求函数的极值；

（2）若函数的图象与轴有且只有一个交点，求的取值范围．

Answer

（1）当时, 取得极大值为;

当时, 取得极小值为.

（2）a的取值范围是．

【解析】

试题分析：（1）遵循“求导数，求驻点，讨论驻点两侧导数值符号，确定极值”.

（2） 根据 = ，得到△= = .

据此讨论：① 若a≥1，则△≤0，

此时≥0在R上恒成立，f（x）在R上单调递增 .

计算f（0），,得到结论.

② 若a＜1，则△＞0，= 0有两个不相等的实数根，不妨设为．

有．

给出当变化时，的取值情况表.

根据f（x1）·f（x2）＞0, 解得a＞．作出结论.

试题解析： （1）当时，，

∴.

令=0, 得 . 2分

当时,, 则在上单调递增;

当时,, 则在上单调递减;

当时,, 在上单调递增. 4分

∴ 当时, 取得极大值为;

当时, 取得极小值为. 6分

（2） ∵ = ，

∴△= = .

①若a≥1，则△≤0， 7分

∴≥0在R上恒成立，

∴ f（x）在R上单调递增 .

∵f（0），,

∴当a≥1时，函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点． 9分

② 若a＜1，则△＞0，

∴= 0有两个不相等的实数根，不妨设为．

∴．

当变化时，的取值情况如下表：

x

x1

（x1，x2）

x2

+

0

－

0

+

f（x）

↗

极大值

↘

极小值

↗

11分

∵,

∴.

∴

=

.

同理.

∴

.

令f（x1）·f（x2）＞0, 解得a＞．

而当时,, 13分

故当时, 函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点.

综上所述，a的取值范围是． 14分

考点：应用导数研究函数的极值、单调性及函数的图象，分类讨论思想.