Question

已知椭圆的长轴长为，离心率为，分别为其左右焦点．一动圆过点，且与直线相切．

（1）(ⅰ)求椭圆的方程；（ⅱ)求动圆圆心轨迹的方程；

（2）在曲线上有四个不同的点，满足与共线，与共线，且，求四边形面积的最小值．

Answer

（1）(ⅰ）；（ⅱ） ；（2）. 四边形面积的最小值为.

【解析】

试题分析：（1）(ⅰ)由题意，,再结合解出的值从而得到椭圆的标准方程；(ⅱ)由条件“动圆过点，且与直线相切”知动圆圆心到定点的距离等于到定直线的距离，且定点不在定直线上，所以动圆圆心的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线；

（2）由题设知直线和直线互相垂直相交于点，且分别与物抛线有两个交点，因此两直线的斜率均存在且不为零，所以解决问题的基本思路是以其中一条直线的斜率为自变量，利用直线与抛物线相交的位置关系，将四边形的面积表示成直线斜率的函数，转化为函数的最值问题.

试题解析：（1）(ⅰ)由已知可得

则所求椭圆方程 3分

(ⅱ)由已知可得动圆圆心的轨迹为抛物线，且抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ，则动圆圆心轨迹方程为 6分

（2）由题设知直线 的斜率均存在且不为零

设直线的斜率为, 则直线的方程为：

联立

消去 可得 8分

由抛物线这义可知：

10分

同理可得 11分

又（当且仅当时取到等号)

所以四边形面积的最小值为. 14分

考点：1、椭圆的标准方程；2、抛物线的定义与标准方程；3、直线与抛物线的位置关系综合.