Question

如图，已知四棱锥的底面的菱形，，点是边的中点，交于点，

（1）求证：；

（2）若的大小；

（3）在（2）的条件下，求异面直线与所成角的余弦值。

Answer

（1）（2）（3）

【解析】

试题分析：（1）因为平面，所以是 在平面 内的射影，要证 ，只要证，连结，由题设易知三角形为正三角形，而是其边 上的中线，所以.

（2）由（1）知， ,而且 ，可以发现为二面角的平面角，再利用直角姑角形求其大小；

（3）取 中点 ，连结易证 ， 与 所成的角就是 与 的成的角；先利用勾股定理求出,再用余弦定理求解.

试题解析：解答一：（1）在菱形中，连接则是等边三角形。

点是边的中点

平面

是斜线在底面内的射影

（2）

菱形中,

又平面,是在平面内的射影

为二面角的平面角

在菱形中,，由（1）知，等边三角形

点是边的中点，与互相平分

点是的重心

又在等边三角形中，

所以在中，

二面角的大小为.

(3)取中点，连结，

则

与所成角与所成角

连结

平面,、平面

在中,

在中,

在中,

由（2）可知，

设与所成的角为

则

所以异面直线、所成角的余弦值为

解法二：（1）同解法一；

（2）过点作平行线交于,以点为坐标原点,建立如图的坐标系

设平面的一个法向量为

则,即

不妨设

二面角的大小为

（3）由已知，可得点

即异面直线所成角的余弦值为

考点：1、三垂线定理；2、二面角及其平面角；3、异面直线所成的角.