Question

已知椭圆C的两个焦点分别为，且点在椭圆C上，又.

（1）求焦点F₂的轨迹的方程；

（2）若直线与曲线交于M、N两点，以MN为直径的圆经过原点，求实数b的取值范围.

Answer

（1）（2）

【解析】

试题分析：（1）因为点在椭圆上，由椭圆定义知

恰好符合双曲线的定义.动点 在以、 为焦点的双曲线上；

（2）由（1）得曲线的方程 ,设 ,联立方程组

消去得方程有两个正根.由韦达定理可建立与 的关系

另外，由 将由韦达定理得到的关系式代入其中可得关于关系式，再结合即可求得 的取值范围.

试题解析：（1）

故轨迹 为以、 为焦点的双曲线的右支

设其方程为：

故轨迹方程为. （6分）

（2）由

方程有两个正根.

设，由条件知.

而

即

整理得，即

由（1）知，即显然成立.

由（2）、（3）知

而.

.

故的取值范围为 （12分）

考点：1、椭圆的定义；2、双曲线的定义和标准方程；3、直线与圆锥曲线的位置关系综合问题.