Question

已知函数

（1）若方程内有两个不等的实根，求实数m的取值范围；（e为自然对数的底数）

（2）如果函数的图象与x轴交于两点、且.求证：（其中正常数）.

Answer

（1）（2）

【解析】

试题分析：（1）方程内有两个不等的实根，可转化为函数的图象与 有两个不同的交点，可以利用导数研究函数在 上的单调性与极值并结合边界值来确定实数m的取值范围；

（2）由函数的图象与x轴交于两点、知方程

有两根

因为 ,

所以

只需证明：在上恒成立即可.

试题解析：（1）由，

求导数得到：

，故在有唯一的极值点

，且知

故上有两个不等实根需满足：

故所求m的取值范围为. （6分）

（2）又有两个实根

则

两式相减得到：

于是

，故

要证：，只需证：

只需证：

令，则

只需证明：在上恒成立.

又则

于是由可知.故知

上为增函数，则

从而可知，即（*）式成立，从而原不等式得证. （14分）

考点：1、导数在研究函数性质中的应用；2、等价转化与数形结合的思想.