Question

已知数列满足：其中，数列满足：

（1）求；

（2）求数列的通项公式；

（3）是否存在正数k，使得数列的每一项均为整数，如果不存在，说明理由，如果存在，求出所有的k.

Answer

（1）（2）（3）的取值集合是

【解析】

试题分析：(1)先由递推公式求出

再用递推公式求出 ；

(2)由

两式相减可得 即： ,于是结合（1）的结论可得 .

(3)对于这类问题通常的做法是假设 的值存在,由（1）的结果知，

或 ,接下来可用数学归纳法证明结论成立即可.

试题解析：（1）经过计算可知：

.

求得. （4分）

（2）由条件可知：. ①

类似地有：. ②

①-②有：.

即：.

因此：

即：故

所以：. （8分）

（3）假设存在正数，使得数列的每一项均为整数.

则由（2）可知： ③

由，及可知.

当时，为整数，利用，结合③式，反复递推，可知，，，， 均为整数.

当时，③变为 ④

我们用数学归纳法证明为偶数，为整数

时，结论显然成立，假设时结论成立，这时为偶数，为整数，故为偶数，为整数，所以时，命题成立.

故数列是整数列.

综上所述，的取值集合是. （14分）

考点：1、数列的递推公式；2、数学归纳法.