Question

已知数列的前项和为，，且（为正整数）

（1）求数列的通项公式；

（2）对任意正整数，是否存在,使得恒成立？若存在，求是实数的最大值；若不存在，说明理由.

Answer

（1）；（2）存在，的最大值为1.

【解析】

试题分析：（1）由①得：②，①-②得，化简得，易得，所以数列是首项为1，公比的等比数列，继而求出数列的通项公式；

（2）由（1）知，由题知，对于易得其为单调递减的，所以当时，取最小值，继而求出的的最大值.

（1）因 ①

时， ②

由① - ②得,

又得，

故数列是首项为1，公比的等比数列,

（2）假设存在满足题设条件的实数，由（1）知

由题意知，对任意正整数恒有，又数列单调递增,

所以，当时数列中的最小项为，则必有，即实数最大值为1.

考点：数列的通项公式；数列的最值；数列中的恒成立.