Question

已知函数.

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）求函数的单调区间；

（3）若对任意的都有恒成立，求实数的取值范围.

Answer

【解析】

试题分析：（1）当时，，求出导函数，所以曲线在处的切线斜率，又，进而得出切线方程；

（2）易得函数的定义域为，对函数进行求导得，令并在定义域范围内解之，即，再对其分和进行分类讨论，求得函数的单调增区间，函数的单调增区间在定义域内的补集即为函数的单调减区间；

由题意得：对任意，使得恒成立，只需在区间内，，对进行分类讨论，从而求出的取值范围.

(1)时,

曲线在点处的切线方程

(2)

①当时, 恒成立,函数的递增区间为

②当时,令,解得或（舍去）

x

( 0, )

f’(x)

-

+

f(x)

减

增

所以函数的递增区间为,递减区间为

(3)由题意知对任意的,,则只需对任意的,

①当时,在上是增函数,所以只需 ，而 ，所以满足题意;

②当时,,在上是增函数, 所以只需

而， 所以满足题意;

③当时,,在上是减函数,上是增函数,所以只需即可 ，而 ，从而不满足题意;

综合①②③实数的取值范围为.

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值中的应用.