Question

设函数.

（1）当时，求函数在上的最大值和最小值；

（2）若在上为增函数，求正数的取值范围.

Answer

（1）最小值为，最大值为；（2）.

【解析】

试题分析：（1）当时，,其导函数，易得当时，，即函数在区间上单调递增，又函数是偶函数，所以函数在上单调递减，在上的最小值为，最大值为；

（2）由题得：在上恒成立，易证，若时，则，所以；若时，易证此时不成立.

(1)当时，, ，

令，则恒成立，

∴为增函数，

故当时，

∴当时，，∴在上为增函数，

又为偶函数，在上为减函数，

∴在上的最小值为，最大值为.

（2）由题意，在上恒成立.

（ⅰ）当时，对，恒有，此时，函数在 上为增函数，满足题意；

（ⅱ）当时，令，，由得，

一定，使得，且当时，，在上单调递减，此时，即，所以在为减函数，这与在为增函数矛盾.

综上所述：.

考点：函数的最值；函数的恒成立问题.