Question

已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，它的一个焦点恰好与抛物线的焦点重合.

求椭圆的方程；

设椭圆的上顶点为，过点作椭圆的两条动弦，若直线斜率之积为，直线是否一定经过一定点?若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由.

Answer

（1）；（2）恒过一定点.

【解析】

试题分析：（1）可设椭圆方程为,因为椭圆的一个焦点恰好与抛物线的焦点重合，所以，又，所以，又因，得，所以椭圆方程为；

（2）由（1）知，当直线的斜率不存在时，可设，设，则，

易得，不合题意；故直线的斜率存在.设直线的方程为：，()，并代入椭圆方程，得： ①，设，则是方程①的两根，由韦达定理，由，利用韦达定理代入整理得，又因为，所以，此时直线的方程为，即可得出直线的定点坐标.

（1）由题意可设椭圆方程为,

因为椭圆的一个焦点恰好与抛物线的焦点重合，所以，

又，所以，

又因，得，

所以椭圆方程为；

（2）由（1）知，

当直线的斜率不存在时，设，设，则，

，不合题意.

故直线的斜率存在.设直线的方程为：，()，并代入椭圆方程，得：

①

由得 ②

设，则是方程①的两根，由韦达定理

，

由得：

，

即，整理得

，

又因为，所以，此时直线的方程为.

所以直线恒过一定点

考点：椭圆的标准方程；圆锥曲线的定点问题.