Question

设满足以下两个条件得有穷数列为阶“期待数列”：

①，②.

（1）若等比数列为阶“期待数列”，求公比；

（2）若一个等差数列既为阶“期待数列”又是递增数列，求该数列的通项公式；

（3）记阶“期待数列”的前项和为.

（）求证：；

（）若存在，使，试问数列是否为阶“期待数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由.

Answer

（1）；（2）；（3）（）证明见解析；（）不能，理由见解析.

【解析】

试题分析：

（1）由阶“期待数列”定义，当，结合已知条件①求得等比数列的公比，若，由①得, ，得，不可能，所以 ；

（2）设出等差数列的公差，结合①②求出公差，再由前项和为求出首项，则等差数列的通项公式可求；

（3）（）由阶“期待数列”前项中所有的和为0，所有项的绝对值之和为1，求得所有非负项的和为，所有负项的和为，从而得到答案；

（）借助于（）中结论知，数列的前项和为，且满足，再由，得到，从而说明与不能同时成立.

(1) 若，则由①

由，所以，得，

由②得或,满足题意.

若，由①得, ，得，不可能.

综上所述.

(2)设等差数列的公差为.

因为，所以.

所以.

因为，所以由，得.

由题中的①、②得

, ，

两式相减得, 即. 又,得.

所以.

(3) 记中非负项和为,负项和为.

则, 得.

（） 因为，所以.

（） 若存在，使，由前面的证明过程知：

，

且.

记数列的前项和为.若为阶“期待数列”，

则由()知, . 所以

因为， 所以.

所以,.

又, 则.

所以.

所以与不能同时成立.

所以对于有穷数列,若存在，使，

则数列不能为阶“期待数列”.

考点：数列的通项公式；数列与不等式的综合.