Question

如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，且，，平面底面，为的中点，是棱的中点，.

（1）求证:平面；

（2）求三棱锥的体积.

Answer

（1）见解析（2）

【解析】

试题分析：（1）由题意知四边形BCDE为平行四边形，故连结CE交BD于O，知O是EC的中点，又M是PC的中点，根据中位线定理知MO∥PE，根据线面平行判定定理可得PE∥面BDM；（2）三棱锥P-MBD就是三棱锥P-BCD割去一个三棱锥M-BCD，故三棱锥P-MBD体积就是三棱锥P-BCD体积减去一个三棱锥M-BCD的体积，由PA=PD=AD=2及为的中点知，PE垂直AD，由面面垂直的性质定理知PE⊥面ABCD，故PE是三棱锥P-BCD的高，由M是PC的中点知三棱锥M-BCD的高为PE的一半，故三棱锥P-MBD体积为三棱锥P-BCD体积的一半，易求出三棱锥P-BCD即可求出三棱锥P-MBD体积.

试题解析：

（1）连接，因为，，所以四边形为平行四边形,

连接交于，连接，则，

又平面，平面，所以平面.

（2），

由于平面底面，底面

所以是三棱锥的高，且

由（1）知是三棱锥的高，，，

所以，则.

考点：1.线面平行的判定；2.简单几何体体积计算；3.逻辑推理能力；4.空间想象能力.