Question

如图，半径为30的圆形（为圆心）铁皮上截取一块矩形材料，其中点在圆弧上，点在两半径上，现将此矩形材料卷成一个以为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设与矩形材料的边的夹角为，圆柱的体积为.

（1）求关于的函数关系式？

（2）求圆柱形罐子体积的最大值.

Answer

（1）；（2）

【解析】

试题分析：（1）利用解直角三角形用将OA，AB表示出来，利用OA是圆柱的底面周长，将圆柱的底面半径用表示出来，圆柱的高就是AB，再利用圆柱的体积公式求出圆柱的体积即为所求关于的函数关系式，注意要标明定义域；（2）设sin=,将圆柱形罐子体积化为关于的函数，注意的范围，求出的导数，利用导数求出单调区间，求出的极值，再求出函数的最大值就是圆柱形罐子体积的最大值.

试题解析：（1）

（2）令，，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，

即当时，体积取得最大值.

【解法2】：（1）连接，在中，设，则

设圆柱底面半径为，则，即，

，其中.

（2）由，得

由解得；由解得．

因此在上是增函数，在上是减函数．

所以当时，有最大值．

考点：1.圆的参数方程；2.圆柱的体积公式；3.利用导数求函数最值；4.运算求解能力.