Question

如图，椭圆经过点，其左、右顶点分别是、，左、右焦点分别是、，（异于、）是椭圆上的动点，连接交直线于、两点,若成等比数列.

（1）求此椭圆的离心率；

（2）求证:以线段为直径的圆过点.

Answer

（1）（2）见解析

【解析】

试题分析：（1）由椭圆的几何意义知，，，由等比数列知，，即，两边同除以化为关于离心率的方程，求出离心率；（2）设出P点坐标，利用直线两点式方程写出直线PA，PB方程，通过解PA与及PB与方程分别组成的方程组，解出点M，N的坐标，再通过计算向量法=0，证明，证明为直径的圆过点.

试题解析：（1）由题意可知，成等比数列，所以

（2）由，椭圆经过点可知，椭圆方程为

设，由题意可知

解得，则

故以线段为直径的圆过点.

考点：1.椭圆的几何性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.运算求解能力.