Question

如图，已知的直径，点、为上两点，且，，为弧的中点．将沿直径折起，使两个半圆所在平面互相垂直（如图2）．

（1）求证：；

（2）在弧上是否存在点，使得平面？若存在，试指出点的位置；若不存在，请说明理由；

（3）求二面角的正弦值.

Answer

(1)证明过程详见解析（2）在弧上存在点,且点为弧的中点;（3）。

【解析】

试题分析：（1）连结CO，则CO⊥AB，证明∠FOB=∠CAB，从而得出OF∥AC；（2）找出弧BD的中点G，证明OG∥AD，由（1）知，OF∥AC，先证明线面平行，在证明面面平行；（3）用三垂线法作出二面角C-AD—B的平面角，再通过解三角形，求出二面角平面角的余弦值，或建立空间直角坐标系，利用向量法证明平行和求二面角.

试题解析:（法一）：证明：（1）如右图，连接，

，，

又为弧的中点，，．

（2）取弧的中点，连接，

则，故，

由（1），知平面，故平面平面，

则平面，因此，在弧上存在点，使得平面，且点为弧的中点．

（3）过作于，连．

因为，平面平面，故平面．

又因为平面，故，所以平面，，

则是二面角的平面角，又，，故．

由平面，平面，得为直角三角形，

又，故，可得==，故二面角的正弦值为.

（法二）：证明：（1）如图，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以为原点，作空间直角坐标系，

则，

，

点为弧的中点，点的坐标为，

，，即．

（2）设在弧上存在点，使得平面，

由（1），知平面，平面平面，则有．

设，，．又，

，解得(舍去)．，则为弧的中点．

因此，在弧上存在点，使得平面，且点为弧的中点．

（3），点的坐标，．

设二面角的大小为，为平面的一个法向量．

由有即

取，解得，．，取平面的一个法向量，

，故二面角的正弦值为.

考点：1.空间线线、线面、面面平行的判定与性质；2.二面角的计算；3.空间想象能力、推理论证能力、计算求解能力.