Question

学校操场边有一条小沟,沟沿是两条长150米的平行线段,沟宽为2米,，与沟沿垂直的平面与沟的交线是一段抛物线，抛物线的顶点为，对称轴与地面垂直，沟深2米，沟中水深1米．

（1）求水面宽；

（2）如图1所示形状的几何体称为柱体，已知柱体的体积为底面积乘以高，求沟中的水有多少立方米？

（3）现在学校要把这条水沟改挖(不准填土)成截面为等腰梯形的沟，使沟的底面与地面平行，沟深不变，两腰分别与抛物线相切（如图2），问改挖后的沟底宽为多少米时，所挖的土最少？

Answer

（1）米（2）立方米；（3）米

【解析】

试题分析：（1）以O为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系，写出A，B点的坐标，利用待定系数法抛物线方程，利用水深即为水面与抛物线交点的纵坐标，代入抛物线方程求出水面与抛物线交点的横坐标，结合图知所求横坐标的2倍就是水面宽度；（2）利用定积分求出水体底面面积，再用柱体体积公式求出水体体积；（3）设出切点坐标，利用切点的导数就是切线的斜率求出切线的斜率，利用直线方程的点斜式求出切线方程，求出上下两底顶点的坐标，利用上下底顶点坐标的二倍就是梯形上下底宽算出梯形上下底的宽，将梯形面积表示为切点的横坐标的函数，利用基本不等式求出面积取最小值时对应的切点坐标，从而求出梯形的下底宽.

试题解析:（1）如图建立直角坐标系，设抛物线方程为．

则由抛物线过点，可得．

于是抛物线方程为．

当时，，由此知水面宽为（米）．

（2）（立方米）

（3）为使挖掉的土最少，等腰梯形的两腰必须同抛物线相切．

设切点是抛物线弧上的一点，过作抛物线的切线得到如上图所示的直角梯形，则切线的方程为：，于是．

记梯形的面积为，则，

当且仅当，时，等号成立，所以改挖后的沟底宽为米时，所挖的土最少．

考点：1.抛物线的图像与性质；2.定积分；3.利用导数求函数的切线；4.利用基本不等式求函数最值;5.函数应用.