Question

在如图所示的多面体中，平面平面，是边长为2的正三角形，

∥，且.

（1）求证：；

（2）求多面体的体积.

Answer

（1）证明过程详见解析；（2）.

【解析】

试题分析：本题主要以多面体为几何背景，考查线面垂直、线线垂直、面面垂直及多面体的体积等基础知识，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问，利用在中的边长得到，利用面面垂直的性质得到线面垂直，再利用线面垂直的性质得；第二问，利用线面垂直平面PAC，得，，而利用线面垂直的判定，得到线面垂直平面BCPM，所以AD是多面体的高，利用体积公式求体积.

试题解析：（1），

又因平面平面，平面平面平面,

平面,. 6分

（2）作于点.由（1）知平面，

又∥，且

四边形是上、下底分别为2、4，高为2的直角梯形，其面积为6.

又，平面，.

故多面体的体积为. 13分

考点：线面垂直、线线垂直、面面垂直及多面体的体积.