Question

如图，已知点为椭圆右焦点，圆与椭圆的一个公共点为，且直线与圆相切于点.

（1）求的值及椭圆的标准方程；

（2）设动点满足，其中M、N是椭圆上的点，为原点，直线OM与ON的斜率之积为，求证：为定值.

Answer

（1）；（2）证明过程详见解析.

【解析】

试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程以及几何性质等基础知识，考查学生分析问题解决问题的能力和计算能力.第一问，由椭圆C过点（0,1）点，所以得到，由，得，在直角三角形AFB中，利用勾股定理求参数a，c的值，从而得到椭圆的标准方程；第二问，设出点M，N，P的坐标，代入到中，得到与、的关系，得到与、的关系，又由于点M，N在椭圆上，代入椭圆方程中，得到关系式，都代入到所求的式子中，化简得到定值.

试题解析：（1）由题意可知，又.又 . 2分

在中，，

故椭圆的标准方程为： 6分

（2）设

∵M、N在椭圆上，∴

又直线OM与ON的斜率之积为，∴，

于是

.故为定值.

13分

考点：椭圆的标准方程以及几何性质.