Question

已知函数，（）.

（1）若有最值，求实数的取值范围；

（2）当时，若存在、，使得曲线在与处的切线互相平行，求证：.

Answer

（1）；（2）证明过程详见解析.

【解析】

试题分析：本题主要考查导数的计算、利用导数求曲线的切线方程、利用导数求函数的最值、基本不等式等基础知识，考查分类讨论思想和转化思想，考查学生的计算能力、转化能力和逻辑推理能力.第一问，先对求导，再讨论方程的判别式，第一种情况，第二种情况且，第三种情况且，数形结合判断函数在定义域上是否有最值；第二问，由于在与处的切线互相平行，所以2个切线的斜率相等，得到关系式，利用基本不等式和不等式的性质证明结论.

试题解析：（1），

由知，

①当时，，在上递增，无最值；

②当时，的两根均非正，因此，在上递增，无最值；

③当时，有一正根，在上递减，在上递增；此时，有最小值；

所以，实数的范围为. 7分

（2）证明：依题意：，

由于，且，则有

. 12分

考点：1.导数的计算；2.利用导数求曲线的切线方程；3.利用导数求函数的最值；4.基本不等式.