Question

已知椭圆的方程为,其中.

（1）求椭圆形状最圆时的方程；

（2）若椭圆最圆时任意两条互相垂直的切线相交于点，证明：点在一个定圆上.

Answer

（1）；（2）证明过程详见解析.

【解析】

试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、韦达定理等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力和计算能力.第一问，根据椭圆的标准方程应满足的条件得:，且，则知椭圆的长轴在y轴上，而椭圆形状最圆时e最小，则先得到e的表达式，再根据三角函数的有界性求表达式的最小值，得到取得最小值时的的值，从而得到椭圆的标准方程；第二问，设出交点P的坐标，根据直线的斜率是否存在，分2种情况讨论，当斜率存在时，设出直线方程，与椭圆方程联立，得到关于k的方程，由于两切线垂直，则，利用上述方程的两根之积得到的值，整理出方程形式，再验证当斜率不存在时P点坐标，得到最终结论.

试题解析：（1）根据已知条件有，且，故椭圆的长轴在轴上.

，当且仅当时取等号.

由于椭圆的离心率最小时其形状最圆，故最圆的椭圆方程为. 5分

（2）设交点，过交点的直线与椭圆相切.

(1)当斜率不存在或等于零时，易得点的坐标为. 6分

(2)当斜率存在且非零时，则设斜率为，则直线：，

与椭圆方程联立消，得：.

由相切，，

化简整理得.①

因过椭圆外一点有两条直线与椭圆相切，由已知两切线垂直，故，而为方程①的两根，

故，整理得：.

又也满足上式，

故点的轨迹方程为，即点在定圆上. 13分

考点：椭圆的标准方程及其几何性质、韦达定理.