Question

已知数列满足，，()

（1）若，数列单调递增，求实数的取值范围；

（2）若，试写出对任意成立的充要条件，并证明你的结论.

Answer

（1）∪；（2）充要条件为.

【解析】

试题分析：本题主要考查数列的递推公式、数列的单调性、充要条件、数学归纳法等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力、逻辑推理能力.第一问，数列单调递增，将已知条件代入，得到所满足条件，即需要满足的条件，即得到a的取值范围，第二问，必要性：法一：由直接解出，法二：利用已知的递推公式得到与的关系，再利用配方法得到的最小值，充分性：用数学归纳法证明.

试题解析：（1）若，则，

由，

得或，所以只需或.

所以实数的取值范围为∪. 6分

(2)对任意成立的充要条件为.必要性：由，解出；

（另【解析】
假设，得，令，，可得：，即有.） 8分

充分性：数学归纳法证明：时，对一切，成立.

证明：（1）显然时，结论成立；

（2）假设时结论成立，即，

当时，.

考察函数，，

①若，由，知在区间上单调递增.由假设.

②若，对总有，

则由假设得.

所以，时，结论成立，

综上可知：当时，对一切，成立.

故对任意成立的充要条件是.

考点：数列的递推公式、数列的单调性、充要条件、数学归纳法.