Question

已知函数，其中为实数.

(1)当时，求函数在区间上的最大值和最小值；

(2)若对一切的实数，有恒成立，其中为的导函数，求实数的取值范围.

Answer

（1）在区间上最小值为，最大值为；（2）.

【解析】

试题分析：（1）当时，，求出函数 的导函数，判断在的单调性，即可求出函数最大值和最小值；

（2）由题目条件得：对任意的都成立，后按，，三种情况，对进行分类讨论去绝对值，能够求出的取值范围.

（1）当时，，

令，得或，

令，得或，

令，得，

在，上单调递增；在上单调递减；

；；；

.

在区间上最小值为，最大值为

（2）由条件有：，

①当时，．

②当时，，即在时恒成立

因为，当时等号成立．

所以，即

③当时，，即在时恒成立，

因为 ，当时等号成立．

所以，即

综上所述，实数的取值范围是．

考点：利用导数求函数的单调区间；函数的最值；函数的恒成立问题.