Question

已知椭圆，过点且离心率为.

求椭圆的方程；

已知是椭圆的左右顶点，动点满足，连接角椭圆于点，在轴上是否存在异于点的定点，使得以为直径的圆经过直线和直线的交点，若存在，求出点，若不存在，说明理由.

Answer

（1）；（2）存在，

【解析】

试题分析：（1）由离心率，所以①，再把点代入椭圆中得：②，最后③，由①②③三式求出、，即可写出椭圆方程；

假设存在，设，则直线的方程， 可得， 并设定点，由题目得：，直线与直线斜率之积为-1，即 ，化简得 ，又因为 ，得，可求出，继而得到定点点坐标.

（1）由题意得

得 ，

所以，椭圆方程为

（2）设，则直线的方程，

可得，

设定点，，

，即 ，

又因为， 所以

进而求得，故定点为.

考点：椭圆的标准方程；圆锥曲线的综合问题.