Question

甲乙两人进行乒乓球比赛，各局相互独立，约定每局胜者得1分，负者得0分，如果两人比赛五局，乙得1分与得2分的概率恰好相等.

求乙在每局中获胜的概率为多少？

假设比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止，用表示比赛停止时已打局数，求的期望.

Answer

【解析】（1）；（2）.

试题分析：（1）设每次比赛乙获胜的概率为，则两人比赛五局，乙得一分的概率为，乙得一分的概率为，因为，所以，即可求得；

（2）由题意比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止，所以随机变量ξ的所有可能的取值为2，4，6，利用随机变量的定义及独立事件同时发生的概率公式求出每一个随机变量取值时对应的随机事件的概率，在有离散型随机的期望公式求出期望.

（1）设每次比赛乙获胜的概率为，则比赛5次乙恰好有次获胜的概率为,

由题设，且， 化简得，

所以，乙获胜的概率为

甲获胜的概率为

依题意知，的所有可能值为2，4，6.

设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为 ．

若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有，

，，

故.

考点：概率的应用；离散型随机变量的期望.