Question

如图，底面是边长为2的菱形，且，以与为底面分别作相同的正三棱锥与，且.

（1）求证：平面；

（2）求平面与平面所成锐角二面角的余弦值.

Answer

（1）证明过程见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）作面于，作面于 ，易得四边形是平行四边形，所以.又面，面，所以平面;

（2）以为轴的正方向，以为轴的正方向，在平面中过点作面的垂线为轴，建立空间直角坐标系求题，利用向量，求出平面和平面的法向量，则两平面的法向量的夹角即为所求角或为所求角的补角.

（1）作面于，作面于 ，因与都是正三棱锥， 且、分别为与的中心，

且 .

所以四边形是平行四边形，所以.

又面，面，所以平面

（2）如图，建立空间直角坐标系，、、、、.

、、

、.…7分

设为平面的法向量，

设为平面的法向量，

设平面与平面所成锐二面角为，

所以，面与面所成锐二面角的余弦值为.

考点：线面平行的判定；二面角的求解.