Question

已知函数在上的最大值为

求数列的通项公式；

求证：对任何正整数，都有；

设数列的前项和，求证：对任何正整数，都有成立

Answer

（1）；（2）证明过程见解析；（3）证明过程见解析.

【解析】

试题分析：（1）判断在上单调递增，在上单调递减，在处取得最大值，即可求得数列的通项公式；

（2）当时，欲证 ，只需证明，

（3）利用（2）的结论得，再由对其进行放缩得：

，可得证.

（1）

当时，由知：

∵时，；时，；

∴在上单调递增，在上单调递减，

∴在处取得最大值，

即.

（2）当时，欲证 ，

只需证明

∵

.

所以，当时，都有成立．

（3）

所以，对任意正整数，都有成立.

考点： 数列的概念及简单表示法；数列与不等式；数列求和放缩.