Question

如图甲，在平面四边形ABCD中，已知,，现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD平面BDC（如图乙），设点E，F分别为棱AC，AD的中点．

（1）求证：DC平面ABC；     

（2）设，求三棱锥A－BFE的体积．

Answer

（1）证明：见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）注意分析折叠前后变化的关系及不变化的关系.在图甲中可得；

在图乙中，可得AB⊥CD．根据DC⊥BC，即可得到DC⊥平面ABC．

（2）首先根据E，F分别为AC，AD的中点，得到EF//CD，根据（1）知，DC⊥平面ABC，得到EF⊥平面ABC，从而得到

在图甲中，根据给定角度及长度，计算“不变量”，得，BD=2，BC=，EF=CD=，

利用体积公式计算即得所求．

解答本题的关键是确定“垂直关系”，这也是难点所在，平时学习中，应特别注意转化意识的培养，等体积转化的方法，是立体几何中常用方法之一.

（1）证明：在图甲中∵且 ∴，

即 1分

在图乙中，∵平面ABD⊥平面BDC ， 且平面ABD∩平面BDC＝BD

4分

又，，且，∴DC⊥平面ABC． 6分

（2）【解析】
， 7分

又由（1）知，DC⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC， 8分

所以， 9分

在图甲中，

由得，， 10分

，

11分

12分

考点：平行关系，垂直关系，几何体的体积.