Question

设是椭圆的两点，，，且，椭圆离心率，短轴长为2，O为坐标原点．

（1）求椭圆方程；

（2）若存在斜率为的直线AB过椭圆的焦点（为半焦距），求的值；

（3）试问的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．

Answer

（1） （2） （3）三角形的面积为定值1

【解析】

试题分析：（1）由解得

（2）设AB方程为，由

应用韦达定理．

利用建立方程求解.

（3）讨论当ＡＢ的斜率不存在和当AB斜率存在的情况，

在斜率存在时，设AB方程为

由

应用韦达定理，利用,得到,

计算三角形的面积为定值1．

（1）由解得 2分

所求椭圆方程为 3分

（2）设AB方程为，由

． 4分

由已知:

5分

∴ 6分

解得 7分

（3）当ＡＢ的斜率不存在时，则，，由得，

又，得，， 8分

当AB斜率存在时，设AB方程为

由

． 10分

又,即,

知, 11分

∴=

===1

所以三角形的面积为定值1． 13分

考点：椭圆的几何性质，直线方程，直线与圆锥曲线的位置关系，平面向量的数量积，分类讨论思想.