Question

如图，在底面是正方形的四棱锥P—ABCD中，PA⊥面ABCD，BD交AC于点E，F是PC中点，G为AC上一点．

（1）求证：BD⊥FG；

（2）确定点G在线段AC上的位置，使FG//平面PBD，并说明理由．

（3）当二面角B—PC—D的大小为时，求PC与底面ABCD所成角的正切值．

Answer

（1）见解析；

（2）当G为EC中点，即AG=AC时，FG∥平面PBD．

（3）正切值是.

【解析】

试题分析：本题可有两种思路，一是“几何法”，二是“向量法”.

方法一：（1）先证得BD⊥平面APC ，得出BD⊥FG.

（2）注意题目中已有的中点及“等分点”，当G为EC中点，连接PE，由F为PC中点，G为EC中点，知FG∥PE， 得到FG∥平面PBD．

（3）应用“一作，二证，三计算”.

方法二：（1）以A为原点，AB，AD，PA所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

通过确定，

证得BD⊥FG；

（2）由，确定，， 得到，证得FG//平面PBD；

（3）由确定平面PBC的一个法向量为，得到，

同理可得平面PDC的一个法向量，设所成的角为，

由

进一步确定PC与底面ABCD所成角的正切值是.

解答本题的关键是确定“垂直关系”，这也是难点所在，平时学习中，应特别注意转化意识的培养，能从“非规范几何体”，探索得到建立空间直角坐标系的条件.

方法一：（1）∵PA⊥面ABCD，四边形ABCD是正方形，其对角线BD，AC交于点E

∴PA⊥BD，AC⊥BD， ∴BD⊥平面APC 2分

∵FG平面PAC，∴BD⊥FG 3分

（2）当G为EC中点，即AG=AC时，FG∥平面PBD， 4分

连接PE，由F为PC中点，G为EC中点，知FG∥PE， 5分

而FG平面PBD，PB平面PBD，故FG∥平面PBD． 6分

（3）作BH⊥PC于H，连接DH，∵PA⊥面ABCD，四边形ABCD是正方形，∴PB=PD，

又∵BC=DC，PC=PC，∴△PCB≌△PCD，∴DH⊥PC，且DH=BH，∴∠BHD是二面角B－PC－D的平面角．即 7分

∵PA⊥面ABCD，∴∠PCA就是PC与底面ABCD所成的角 8分

连结EH，则，

而， 10分

11分

∴PC与底面ABCD所成角的正切值是 12分

方法二：（1）以A为原点，AB，AD，PA所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

设正方形ABCD的边长为1，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0）

D（0，1，0），P（0，0，a）（a>0）, 1分

∵， 2分

∴BD⊥FG 3分

（2）要使FG//平面PBD，只需FG//EP，而，由，可得：，解得，， 5分

，，故当时，FG//平面PBD 6分

（3）设平面PBC的一个法向量为

则，而

，取，得， 8分

同理可得平面PDC的一个法向量，设所成的角为，

则

即 10分

∵PA⊥面ABCD，∴∠PCA就是PC与底面ABCD所成的角，

∴PC与底面ABCD所成角的正切值是 12分

考点：平行关系，垂直关系，线面角的定义及计算，空间向量的应用.