Question

设函数．

（1）若函数在上为减函数，求实数的最小值；

（2）若存在，使成立，求实数的取值范围．

Answer

（1）a的最小值为;（2）．

【解析】

试题分析：（1）根据f (x)在上为减函数，得到在上恒成立．转化成时，．

应用导数确定其最大值为．

（2）应用“转化与化归思想”，对命题进行一系列的转化，“若存在使成立”等价于“当时，有”．

由（1）问题等价于：“当时，有”．

讨论①当时，②当<时， ，作出结论.

（1）由已知得x＞0，x≠1．

因f (x)在上为减函数，故在上恒成立． 1分

所以当时，．

又， 2分

故当，即时，．

所以于是，故a的最小值为． 4分

（2）命题“若存在使成立”等价于

“当时，有”． 5分

由（1），当时，，．

问题等价于：“当时，有”． 6分

①当时，由（1），在上为减函数，

则=，故． 8分

②当<时，由于在上的值域为

（ⅰ），即，在恒成立，故在上为增函数，

于是，，矛盾． 10分

（ⅱ），即，由的单调性和值域知，

存在唯一，使，且满足：

当时，，为减函数；当时，，为增函数；

所以，， 12分

所以，，与矛盾． 13分

综上，得 14分

考点：应用导数研究函数的单调性、最（极）值，转化与化归思想，分类讨论思想，应用导数研究不等式恒成立问题.