Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，，Q为AD的中点.

 

（1）若PA=PD，求证：平面平面PAD；

（2）点M在线段上，PM=tPC，试确定实数t的值，使PA//平面MQB.

Answer

（1）见解析(2)

【解析】

试题分析：

(1)要证明平面平面PAD,根据面面垂直的定义,只需要在面PAD中找到一条直线AD垂直于面PQB即可,根据三角形PAD为等腰三角形且Q为中点,三线合一即可得到PQ垂直于AD,再利用底面四边形ABCD为菱形且有个角为60度即可得到三星ABD为等边三角形,再次利用等腰三角形的三线合一即可证明QB垂直于AD,则AD垂直于面PQB内两条相交的线段QB与PQ,即可得到AD垂直于面PQB,即有面面垂直.

(2)连交于,根据线面平行的性质定理,可以得到,则在三角形PAC与三角形MNC中,有一组边平行,则两个三角形相似,则有,利用底面是有个角为60度的菱形和Q为中点可以求的,即可得到.

试题解析：

（1）连结，因为四边形为菱形，

且，所以为正三角形，

又为的中点，所以； 2分

又因为，Q为AD的中点，所以.

又，所以 4分

又，所以 6分

（2）证明：因为平面，连交于，

由可得，∽，所以， 8分

因为平面，平面，平面平面.

所以， 10分

因此，.即的值为. 12分

考点：线面平行的性质定理面面垂直三线合一