Question

如图，椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，过且于x轴垂直的直线与椭圆交于S,T，与抛物线交于C，D两点，且

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设P为椭圆上一点，若过点M(2,0)的直线与椭圆相交于不同两点A和B，且满足（O为坐标原点），求实数t的取值范围.

Answer

(1)(2)

【解析】

试题分析：

(1)抛物线的方程已知,则可以求出右焦点的坐标为,则可以知道和直线CD的方程我饿哦x=1,联立直线与抛物线方程可以求出C,D两点的坐标,进而得到CD的长度,再联立直线与椭圆方程即可求出ST两点的坐标,进而得到ST的距离,利用条件建立关于的等式,与联立即可求出的值,进而得到椭圆的方程.

(2)因为直线l与椭圆有交点,所以直线l的斜率一定存在,则设出直线l的斜率得到直线l的方程,联立直线l与椭圆方程得到AB两点横纵坐标之间的韦达定理,即的值,再利用发解即可得到P点的坐标,因为P在椭圆上,代入椭圆得到直线斜率k与t的方程,,利用k的范围求解出函数的范围即可得到t的范围.

试题解析：

（1）设椭圆标准方程，由题意，抛物线的焦点为,.

因为,所以 2分

又，，,又

所以椭圆的标准方程. 5分

（2）由题意，直线的斜率存在，设直线的方程为

由消去，得,（*）

设,则是方程（*）的两根，所以

即① 7分

且，由，得

若，则点与原点重合，与题意不符，故，

所以， 9分

因为点在椭圆上，所以

,即,

再由①，得又，. 13分

考点：抛物线椭圆直线与椭圆的位置关系韦达定理