Question

如图，等腰梯形ABCD,AD//BC,P是平面ABCD外一点，P在平面ABCD的射影O恰在AD上，.

（1）证明：；

（2）求二面角A-BP-D的余弦值.

Answer

（1）见解析(2)

【解析】

试题分析：

(1)要证明直线PA垂直BO,根据线面垂直的性质只需要证明BO垂直于PA所在的面PAD即可,首先O是点P在面ABCD上的投影,则有PO垂直于面ABCD,即有BO与PO垂直,三角形ABO的三条边已知,则利用三角形的勾股定理即可证明BO垂直于AD,即有BO垂直于面PAD内两条相交的直线,则BO垂直于面PAD,故有BO垂直于PA.

(2)根据(1)利用AD,PO,BO两两垂直,即可分别设为x,y,z轴建立三维直角坐标系,利用坐标法来求解二面角,即分别求出面ABP与面BPD的法向量,法向量的夹角即为二面角或其补角,根据观察不能发现该二面角是钝角,则利用向量内积的定义即可求出该二面角的余弦值.

试题解析：

（1）在中，，

则，∴⊥.

∵⊥平面，∴⊥.

又平面，平面，且，

∴⊥平面.

又平面，∴⊥. 6分

（2）由题知，以为坐标原点，为轴，

建立如图空间直角坐标系.

由已知，，∴.

因为等腰梯形，，，

所以，∴，，

，， 8分

所以，，

，.

设平面的法向量为，则，

令，故，即.

设平面的法向量为，

则，

令，∴，即.

故，

设二面角的大小为，由图可知是钝角，

所以二面角的余弦值为. 12分

考点：坐标法线线垂直线面垂直法向量