Question

已知数列是首项为，公比的等比数列，设.

（1）求证数列的前n项和；

（2）若对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围.

Answer

(1)(2)

【解析】

试题分析：

(1)已知等比数列的首项与公比,根据等比数列的通项公式即可求的数列的通项公式,带入即可求出数列的通项公式,不难发现,分别为等比数列与等差数列,则利用错位相减法即可求出的前n项和.

(2)该问题是个恒成立问题,只需要求出数列的最大值,则需要考查该数列的单调性,不妨设对数列的相邻两项做差,不难发现数列的第一与第二项相等,从第三项开始单调递减,则该数列的最大值为,则m满足,带入解二次不等式即可求的的取值范围.

试题解析：

(1)由题意知，，

所以，

故，

所以 3分

所以

于是

两式相减得

所以 7分

（2）因为

所以当时，,

当,

所以当时，取最大值是,

又,

所以

即 12分

考点：等差数列与等比数列错位相减法恒成立最值