Question

椭圆的方程为，离心率为，且短轴一端点和两焦点构成的三角形面积为1，抛物线的方程为，抛物线的焦点F与椭圆的一个顶点重合.

（1）求椭圆和抛物线的方程；

（2）过点F的直线交抛物线于不同两点A,B，交y轴于点N，已知的值.

（3）直线交椭圆于不同两点P,Q，P,Q在x轴上的射影分别为P′,Q′，满足(O为原点)，若点S满足，判定点S是否在椭圆上，并说明理由.

Answer

(1)(2)-1（3）见解析

【解析】

试题分析：

(1)根据题意设出椭圆的方程,题目已知离心率即可得到的值,根据椭圆的几何性质,短轴端点与两焦点构成的三角形以焦距为底边长,以短半轴长为高,即该三角形的面积为,再根据之间的关系即可求出的值,得到椭圆的标准方程.抛物线的交点在x轴的正半轴,故抛物线的焦点为椭圆的右顶点,即可求出得到抛物线的方程.

(2)讨论直线AB的斜率,当斜率不存在时与y轴没有交点,所以不符合题意,则斜率存在,设直线AB的斜率为k得到直线AB的方程,联立直线与抛物线的方程得到AB两点横坐标的韦达定理,把向量的横坐标带入向量的坐标表示得到之间的关系为反解,带入,利用(韦达定理)带入即可得到为定值.

(3)设出P,Q两点的坐标,则可以得到的坐标,带入条件得到P,Q横纵坐标之间的关系,因为P,Q在椭圆上,则满足椭圆的方程,这两个条件得到的三个式子相加配方即可证明点S在椭圆上,即满足椭圆的方程.

试题解析：

（1）由题意，椭圆的方程为，又

解得,∴椭圆的方程是.由此可知抛物线的焦点为,得,所以抛物线的方程为. 4分

（2）是定值,且定值为,由题意知，

直线的斜率存在且不为，设直线的方程为,

则联立方程组

消去得:且,由,得整理得可得

. 9分

（3）设则

由得 ①

将点坐标带入椭圆方程得, ② ③

由①+②+③得

所以点满足椭圆的方程,所以点在椭圆上. 13分

考点：抛物线椭圆根与系数的关系