Question

已知函数.

（1）当时，设.讨论函数的单调性；

（2）证明当.

Answer

（1）当时，在上是增函数；

当时，在上是减函数，在上是增函数.

（2）见解析.

【解析】

试题分析：（1）求导数，研究导函数值的正负，确定单调区间.

由于，当时，.

所以，讨论当，即时，当，即时，即得结论；

（2）构造函数，由于导数，通过确定函数的单调性及最值，达到解题目的.

由于，

所以令，再次利用导数加以研究，

当时， 在上是减函数，

当时， 在上是增函数，

又

得到当时,恒有,即,

在上为减函数，由，得证.

（1），所以． 2分

当时，，故有：

当，即时，，；

当，即时，，

令，得；令，得， 5分

综上，当时，在上是增函数；

当时，在上是减函数，在上是增函数． 6分

（2）设，则，

令，则， 8分

因为，所以当时，；在上是减函数，

当时，，在上是增函数，

又所以当时,恒有,即,

所以在上为减函数，所以，

即当时，. 13分

考点：应用导数研究函数的单调性、最（极）值、证明不等式，转化与化归思想，分类讨论思想.