Question

已知椭圆过点，且离心率.

（1）求椭圆C的方程；

（2）已知过点的直线与该椭圆相交于A、B两点，试问：在直线上是否存在点P，使得是正三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）椭圆的方程为.（2）存在符合题意的点.

【解析】

试题分析：（1）由题意得 2分

解得

（2）讨论当直线的斜率为0时，不存在符合题意的点；

当直线的斜率不为0时，设直线的方程为,

代入，整理得,

设，，应用韦达定理得到，,

设存在符合题意的点，

从而弦长

,

设线段的中点，则，

所以,

根据是正三角形，得到，且,

由得,

得到,

由得关于的方程，

解得..

（1）由题意得 2分

解得 4分

所以椭圆的方程为. 5分

（2）当直线的斜率为0时，不存在符合题意的点； 6分

当直线的斜率不为0时，设直线的方程为,

代入，整理得,

设，，则，,

设存在符合题意的点，

则

, 8分

设线段的中点，则，

所以,

因为是正三角形，所以，且, 9分

由得即，所以,

所以, 10分

由得，

解得，所以. 12分

由得,

所以,

所以存在符合题意的点. 14分

考点：椭圆的几何性质，直线方程，直线与圆锥曲线的位置关系，三角形的性质，分类讨论思想.