Question

如图，在梯形ABCD中，AB//CD，AD=DC=CB=a，，平面平面ABCD，四边形ACFE是矩形，AE=a.

（1）求证：平面ACFE；

（2）求二面角B—EF—D的平面角的余弦值.

Answer

（1）见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）由已知可得四边形是等腰梯形，

且，，得到.

再根据平面平面，交线为，即得证.

（2）根据已有垂直关系，以点为原点，所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,则

过作,垂足为.令

根据已有关系确定得到，

二面角的大小就是向量与向量所夹的角.

证明：（1）在梯形中，，

,四边形是等腰梯形，

且

又平面平面，交线为，

平面 5分

（2）由（1）知,以点为原点，所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,则

过作,垂足为.令

由得,,即

二面角的大小就是向量与向量所夹的角.

，

即二面角的平面角的余弦值为. 12分

考点：立体几何平行关系、垂直关系，二面角角的计算，空间向量的应用.