Question

已知，其中e为自然对数的底数.

（1）若是增函数，求实数的取值范围；

（2）当时，求函数上的最小值；

（3）求证：.

Answer

（1）实数的取值范围是.

（2）当时，；

当时，；

当时，.

（3）见解析.

【解析】

试题分析：（1）由题意知在上恒成立.

根据，知在上恒成立，即在上恒成立. 只需求时，的最大值.

（2）当时，则.

根据，分别得到的增区间为（2，＋∞），减区间为（－∞，0），（0，2）. 因为，所以，

因此，要讨论①当，即时，②当，即时，③当时等三种情况下函数的最小值.

（3）由（2）可知，当时，，从而

可得 ，

故利用

（1）由题意知在上恒成立.

又，则在上恒成立，

即在上恒成立. 而当时，，所以，

于是实数的取值范围是. 4分

（2）当时，则.

当，即时，；

当，即时，.

则的增区间为（2，＋∞），减区间为（－∞，0），（0，2）. 6分

因为，所以，

①当，即时，在[]上单调递减，

所以

②当，即时，在上单调递减，

在上单调递增，所以

③当时，在[]上单调递增，所以.

综上，当时，；

当时，；

当时，. 9分

（3）由（2）可知，当时，，所以

可得 11分

于是

14分

考点：应用导数研究函数的单调性、最（极）值、证明不等式，“裂项相消法”求和，“放缩法”，转化与化归思想，分类讨论思想.