Question

已知函数在(0，1)上单调递减．

(1)求a的取值范围；

(2)令，求在[1，2]上的最小值．

Answer

(1)

(2) ①时, 有最小值

②时 ，有最小值

③时 ，有最小值

【解析】

试题分析：(1) 先求导数得，

将函数在上单调递减转化为在上恒成立，由于

进一步转化为在上恒成立，最后利用二次函数的图象和性质求出a的取值范围；

(2)结合第一问的结果可得

通过对的两个零点的大小关系的讨论，利用导数研究的单调性并求最小值.

试题解析：

【解析】
(1) 1分

若在上单调递减，则在上恒成立.

而，只需在上恒成立. 2分

于是 4分

解得 5分

(2)

求导得= 6分

令 ，得

7分

①若即 时，在上成立，此时 在 上单调递增，有最小值 9分

②若即 时 ，当时有 此时在上单调递减，当 时有 ，此时在 上单调递增，有最小值 2分

③若 即时 ，在上成立，此时 在上单调递减，有最小值. 13分

考点：1、导数在研究函数性质中的应用；2、等价转化的思想；3、分类讨论的思想.