Question

已知椭圆C： (a>b>0)的离心率为，且椭圆C上一点与两个焦点F₁，F₂构成的三角形的周长为2+2．

(1)求椭圆C的方程；

(2)过右焦点F₂作直线l 与椭圆C交于A，B两点，设，若，求的取值范围．

Answer

(1) ； (2)

【解析】

试题分析：(1)由题设知 椭圆的标准方程为

(2)因为当直线的斜率不存在时， ，不适合题意，所以直线的斜率存在，设为，直线的方程为，它与椭圆的两交点坐标，则由得

通过方程组，借助韦达定理，得到，结合得到与的关系式，并且可由得到的取值范围；

另一方面，因为由前述的取值范围可使问题得到解决.

试题解析：

【解析】
(1)由题意知： ，且 ， 2分

解得 ， 3分

椭圆的方程为 . 4分

(2)由题意得直线 的斜率存在，右焦点 ，可设直线 的方程为：

由 得

由题意

设，则 6分

由得 7分

9分

令 ， 在上单调递增，

可得

故，解得 2分

= 13分

即的取值范围是 14分

考点：1、椭圆的标准方程；2、平面向量的数乘运算与数量积；3、直线与椭圆的位置关系.