Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，AD//BC，BC=2AD，AC，Q是线段PB的中点.

（1）求证：平面PAC；

（2）求证：AQ//平面PCD.

Answer

（1）详见解析；（2）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）要证平面，只要证：,由题设平面

得，结合条件，可证平面，从而有，结论可证.

（2）思路一: 取中点,连接、.因为是线段的中点，是的中点，可证四边形是平行四边形，从而有∥，可证∥平面

思路二: 取的中点,连接、.因为 所以,通过证明平面∥平面,达到证明∥平面的目的.

证明：（1）因为平面，平面

所以 , 2分

又因为，，平面，,

所以平面 3分

又因为平面，平面，

所以 4分

因为，，平面，,

所以 平面 6分

（2）方法一:取中点,连接、.因为是线段的中点，是的中点，

所以 ∥, 8分

因为 ∥,

所以 ∥,

所以 四边形是平行四边形， 9分

所以 ∥, 10分

因为∥,平面,平面

所以 ∥平面. 12分

方法二:取的中点,连接、.因为 所以

又 ∥，所以 四边形是平行四边形，

所以∥

因为平面,平面,

所以∥平面 8分

因为，分别是线段，的中点，

所以∥，所以∥平面 10分

因为，所以平面∥平面 11分

因为平面，所以∥平面. 12分

考点：1、直线与平面垂直的判定与性质；2、直线与平面平行的判定与性质.