Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，AD//BC,AC,，点M在线段PD上.

（1）求证：平面PAC；

（2）若二面角M-AC-D的大小为，试确定点M的位置.

Answer

（1）详见解析；（2）点为线段的中点.

【解析】

试题分析：（1）要证平面，只要证：,由题设平面

得，结合条件，可证平面，从而有，结论可证.

（2）以为坐标原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示

写出相关点的坐标，求出平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式求出点的坐标，从而确定点M的位置.

解证：（1）因为平面， 平面

所以 , 2分

又因为，，平面，,

所以平面 3分

又因为平面，平面，

所以 4分

因为，，平面，,

所以 平面 6分

（2）因为⊥平面，又由（1）知，

建立如图所示的空间直角坐标系 .则,,，,,

设，,则 ，

故点坐标为, 8分

设平面的法向量为，则 9分

所以

令，则. 10分

又平面的法向量

所以, 解得

故点为线段的中点. 12分

考点：1、直线与平面垂直的判定与性质；2、空间直角坐标系；3、空间向量的夹角公式及应用.