Question

已知函数

（1）求函数的最大值；

（2）若，求的取值范围.

（3）证明：  +（n）

Answer

（1）0；（2）；（3）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）先求，再利用判断函数的单调性并求最值；

（2）思路一：由，分，，三种情况研究函数的单调性，判断与的关系，确定的取值范围.

思路二：由，因为，所以

令，，显然，知为单调递减函数，

结合在上恒成立，可知在恒成立，转化为，从而求得的取值范围.

（3）在中令，得时，．将代入上述不等式，再将得到的个不等式相加可得结论.

解证：（1）， 1分

当时，；当时，；当时，；

所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减； 3分

故. 4分

（2）解法一：， 5分

当时，因为时，所以时，； 6分

当时，令，．

当时，，单调递减，且，

故在内存在唯一的零点，使得对于有，

也即．所以，当时； 8分

当时，时，所以，当时 9分

综上，知的取值范围是. 10分

解法二： ， 5分

令，．

当时，，所以单调递减. 6分

若在内存在使的区间，

则在上是增函数，，与已知不符. 8分

故，，此时在上是减函数，成立．

由，恒成立，而，

则需的最大值，即，，

所以的取值范围是. 10分

（3）在（2）中令，得时，. 11分

将代入上述不等式，再将得到的个不等式相加，得. 14分

考点：1、导数在研究函数性质中的应用；2、函数思想解决不等式问题；3、分类讨论的思想